続・円周率を求める

今度は、正多角形の周の長さから円周率を求めました。

半径１の円に内接する正n角形の一辺の長さ $l$ から、
正2*n角形の一辺の長さ $l'$ を求める式は、
$l' = \sqrt{2-\sqrt{4-l^2}}$
になる。（三平方の定理を駆使すれば出てきます）

で、これを使って正方形から求めていきます。
結果は以下

辺の数	一辺の長さ	円周率の計算値
4	1.414213562373095	2.828427124746190
8	0.765366864730180	3.061467458920719
16	0.390180644032257	3.121445152258053
32	0.196034280659121	3.136548490545940
64	0.098135348654836	3.140331156954754
128	0.049082457045824	3.141277250932759
256	0.024543076571440	3.141513801144285
512	0.012271769298311	3.141572940367515
1024	0.006135913525929	3.141587725275636
2048	0.003067960372572	3.141591421514008
4096	0.001533980637482	3.141592345563526
8192	0.000766990375153	3.141592576625775
16384	0.000383495194616	3.141592634298169
32768	0.000191747598283	3.141592650272843
65536	0.000095873799101	3.141592648934190
131072	0.000047936900088	3.141592684156058
262144	0.000023968449460	3.141592607672169
524288	0.000011984225887	3.141592910939673
1048576	0.000005992110628	3.141591696683685
2097152	0.000002996059946	3.141596553704820

お、計算が速いぞ。数字もいい感じで出て・・・・・・ないぞ。
６５５３６角形のとき減ってる。またその次では実際の円周率超えてるし。

原因にはわりとすぐに気がついた。
上の一辺の長さを出す式に原因がある。
辺の数が増えると $l$ が小さくなり、
４に比べて $l$ の２乗が小さくなりすぎてしまう。
ここでプログラミングで言うところの「桁落ち」が発生してしまったというわけだ。

計算方法を工夫しないと精度が上がらない。
うまくいくと思ったのにな。残念だ。
いい近似式を知っている方、ぜひお教えください。