４次元球の体積を求める

じゃんけんとかランダムウォークとかほったらかしですが、
思いつきのプログラムネタ。
以前にほんのちょっとだけふれたモンテカルロ法を使ったものです。
円の面積を求めるものはweb上に結構たくさんあったので、
なかなかわけのわからん事をしてやろうと思ったわけです。

４次元球ってなんぞやってところからですが、
簡単に言えば、２次元での円、３次元での球、
で、もうひとつ次元を拡張したものが４次元球です。たぶん。
難しく言うと、４次元空間において、
ある点からの距離が一定以内にある点の集合です。
式はこんな感じ。

$\bar x = (x_1,x_2,x_3,x_4)$
$|\bar x| \leq r$

その４次元球の体積（って言うのかな？）は
球の体積の公式から一応計算でも出せますが、（半径 $r$ で）
$V=2\int_{0}^{r}{\frac{4}{3}\pi (\sqrt{r^2-x^2})^3dx$
やれる人はやってみてください。
私が計算したら $\frac{1}{2}\pi^2r^4$ になりました。
まあ計算で出そうとしても結構ややこしい。
計算機にやらせるにしても、格子状の点を全てについて調べるのは、
（前に円の面積から円周率を求めたときと同じような方法ね）
空間が４次元なので調べる量が膨大になってしまいます。
そこでモンテカルロ法の出番です。

前置きはこんなもんで、やり方です。
今回は半径１の４次元球の体積を求めます。

$\bar x$ を決めるため、０〜１の一様乱数を４つ発生させる（ $x_1...x_4$ ）。
$(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2+(x_4)^2 \leq 1$ を満たせばカウントする。
１、２を繰り返す。
「半径１の４次元球の体積」= $2^4$ ×「カウント数」／「データ数」

まあこれがわかれば、半径 $r$ の４次元球の体積は、
$r^4$ をかけた値になるので十分と言うことで。

では結果。
実際の値は小数点以下１０桁までで、
$\frac{1}{2}\pi^2 = 4.9348022005$
です。

データ数	推定値
10	6.4000000000
100	5.4400000000
1000	5.1520000000
10000	4.9216000000
100000	4.9404800000
1000000	4.9272160000
10000000	4.9340384000
100000000	4.9348697600

あまり期待してなかったが、１億データで小数点以下４桁まであってる。
ついでにグラフも。横軸は対数スケールです。
自然対数の底を求めたときとスケールが違うので注意してね。

何とか、思ったところに収束していっている感じだ。

この方法を使えば、５次元球だろうが６次元球だろうが、
煩雑な積分計算をせずに、比較的楽に体積の近似値が出てくる。
まあ、出したところで、どうなんだろうという感じもするが。
宇宙の起源に半歩ぐらいなら近づけるかな？