続・円周率を求める２

適当な近似式も思い浮かばなかったので。
$l'=\sqrt{2-\sqrt{4-l^2}}$
の
$2-\sqrt{4-l^2}$
の部分を、 $l^2$ を $x$ に置き換えて、 $x^2$ までマクローリン展開。
$2-\sqrt{4-x} = \frac{1}{4}x+\frac{1}{64}x^2$
元の式に当てはめると、近似式は下になる。
$l'=\sqrt{\frac{1}{4}l^2+\frac{1}{64}l^4}$
どっちにしろ桁落ちは否めないな。改善されても少しだけだろう。
ま、とりあえずやってみよう。
辺の長さが0.001以下になったら近似式を適用することにしました。

辺の数	一辺の長さ	円周率の計算値
4	1.414213562373095	2.828427124746190
8	0.765366864730180	3.061467458920719
16	0.390180644032257	3.121445152258053
32	0.196034280659121	3.136548490545940
64	0.098135348654836	3.140331156954754
128	0.049082457045824	3.141277250932759
256	0.024543076571440	3.141513801144285
512	0.012271769298311	3.141572940367515
1024	0.006135913525929	3.141587725275636
2048	0.003067960372572	3.141591421514008
4096	0.001533980637482	3.141592345563526
8192	0.000766990375153	3.141592576625775
16384	0.000383495194626	3.141592634379461
32768	0.000191747598194	3.141592648817883
65536	0.000095873799207	3.141592652427489
131072	0.000047936899617	3.141592653329890
262144	0.000023968449810	3.141592653555490
524288	0.000011984224905	3.141592653611890
1048576	0.000005992112453	3.141592653625990
2097152	0.000002996056226	3.141592653629515

赤色部分から近似式を適用したことになります。
最後のほう（緑部）やっぱおかしくなったね。実際の円周率超えてる。
でもっちょっとはよくなったっぽい感じ。

内接する正多角形から求める方法は、
簡単に計算するにはこのあたりが限界なのかな。